2022数学建模国赛D题思路：基于灰色关联分析和多目标优化 ...

侯强

本文共 8 章，对小麦发育后期茎秆抗倒伏性提出了数学模型，给出了数值解及分析，最后提出了建议。
针对问题一，首先对题目所给出的原始抗倒伏指数模型进行量化，得出了07 年各品种小麦的抗倒伏公式。然后，根据其它年份数据缺失的特点，建立了基于茎秆密度和机械强度的改进型抗倒伏指数模型。最后，得出了缺失数据08年及11 年抗倒伏指数的数值解。
针对问题二，首先建立了倒伏指数与外部形态的关联性分析模型；进一步，使用改进后的通径分析法模型，对于抗倒伏指数及外部形态关系进行分析。最后，用灰色关联分析法进行详细数值运算，并对08 年两种倒伏原因进行了分析。
针对问题三，提出了理想株型结构的定义，提出了一个双目标优化模型，并探讨各种穗重情况下的理想模型的数值解。针对问题四，首先建立了茎秆分布模型，然后对于该模型进行简化，分别从茎秆线密度线性变化、分节几何性质均匀以及分节物理性质均匀的情况下获得三个抗倒伏模型。并分别确定了不同条件下的挠曲线方程。通过定义抗折断余量、抗倒伏余量以及倒伏角，采用物理性质均匀模型，分别刻画了不同品种小麦的抗倒伏特性，以及发生倒伏的程度。
问题五依据问题四建立的模型，以 07 年数据为基础，分别计算了不同品种的抗折断余量、抗倒伏余量、倒伏角、最大抗倒伏风速以及临界重力值。结果表明矮抗具有最优的抗倒伏性能，周麦次之，新麦最差。
问题六，根据前面模型，提出了 7 个需要解决的问题，进一步为2012 年制定了试验和数据分析方案，提出了一些建议。
1 问题引入
小麦高产、超高产的研究始终是小麦育种家关注的热点问题。随着产量的增加，小麦的单茎穗重不断增加。但穗重的增加同时使茎秆的负荷增大，导致容易倒伏。倒伏不但造成小麦减产，而且影响小麦的籽粒品质。因此要实现小麦高产优质的跨越，就必须解决或尽量减少小麦的倒伏问题。小麦倒伏从形式上可分为“根倒”和“茎倒”，一般都发生在小麦发育后期。“根倒”主要与小麦种植区域的土壤品种与结构特性有关，本题不做讨论。“茎倒”是高产小麦倒伏的主要形式，尤其是发生时间较早的“茎倒”，往往造成大幅度的减产。“茎倒”的原因是茎秆与穗的自重和风载作用的迭加超过了小麦茎秆的承受能力。
解决倒伏问题的方法之一就是针对不同的产量，寻找小麦抗倒伏能力最佳的茎秆性状（包括株高、茎长、各节间长、各节茎外径、壁厚、茎秆自重、穗长、穗重等）。各方面的专家通过分析影响小麦倒伏的各种因素，目前已经得到了一些结果，但是对抗倒伏能力最佳的茎秆性状还没有定论。通过物理力学类比研究小麦抗倒伏性是一个新方向，已有一些成果，值得我们进行深入探讨。本文现根据已有研究成果和实验数据解决以下几个问题：
（1）依据已有抗倒伏指数公式建立各品种小麦的茎秆抗倒指数公式，并求解茎秆机械强度与茎秆粗厚的关系。
（2）研究抗倒伏指数与茎秆外部形态特征之间的关系，并判断小麦茎秆性状的各个因素之间有无相关性。根据前面结论对2008 年国信1 号与智9998 品种的小麦都发生倒伏，其他品种没有发生倒伏的原因给出判断。
（3）探讨单穗重分别是1.19g，2.06g，2.46g，2.56g，2.75g，2.92g 时小麦的理想株型结构。
（4）将茎秆按刚/弹性材料处理，研究小麦茎秆在麦穗自重和风载作用下应力的基本规律，建立小麦茎秆抗倒伏的数学模型。
（5）应用（4）力学模型中的抗弯刚度EI，麦穗自重下和风载作用下的公式计算在2007 年数据中腊熟期各品种的抗倒伏风速。
（6）总结所建模型及分析结果，提出值得考虑的问题。为2012 年制定完整的试验方案及数据分析方法，并给小麦育种家在育种实践中提出合理的建议。
2.2 问题一、基于茎秆机械强度的倒伏指数模型
2.1 符号说明与假设
2.1.1 符号说明
表 2-1 符号预定与含义


2.1.2 假设
本小节主要解决问题（1），在解决问题前，我们阅读了大量作物抗倒伏方面的相关文献资料，并进行分类整理和分析，在此基础上初步形成了自己的观点。基于我们对问题的理解和建模的需要，做如下假设：
1. 只考虑“茎倒”，不讨论“根倒”，也就是假设即使产生“茎倒”小麦的根系仍然牢牢固定在地下。
2. 抗倒伏性是小麦的内在特性，仅与茎秆自身特征（壁厚、鲜重等）有关，而不考虑外界环境的影响。
3. 将小麦茎秆等效为空心圆柱体，且内外壁之间的填充物质呈均匀、连续分布。
4. 本小节研究的对象均为未倒伏小麦植株，因此假设茎秆和麦穗均为竖直向上生长。
2.2 模型的准备：现有研究结果与数据预处理
2.2.1 现有研究的局限性
小麦在田间的实际倒伏程度和面积是其抗倒伏能力的直接体现，但未发生倒伏时如何评价作物品种的抗倒伏性，目前尚未有统一的方法或指标。农业工作者从作物品种、植株外部形态、内部组织结构、栽培条件、土壤、环境因素等各方面进行了许多相关研究，提出了一些抗倒伏的评价方法和评价指标[1][2]。
主要思路是先综合考虑几项与茎秆倒伏有关的小麦外部形态特征，分析这些形态特征与抗倒伏性能关联系数，再通过试验验证。本文认为这些方法虽然取得了一定的效果，但亦有很大弊端。关联性的提出往往建立在一些简单经验的基础上，经常是在其理论科学性还未被证明的情况下，就直接应用到具体育种实践中。
因此，这些研究的理论基础易于受到置疑。此外，对于与倒伏的关系多采用计算相关性或回归分析的办法，至于具体的产生机理和细节问题则很少探讨，这就增加了其理论的不确定性。
因此，若要研究倒伏产生机理，应在传统意义上定性分析的基础上，从理论上寻找对倒伏进行量化分析的途径。
2.2.2 数据标准化预处理
通过对试验收集到数据的初步观察可发现，表征小麦茎秆外部形态特征的指标纷繁复杂，有长度、粗数、重量等等，这些数据含义不同、大小不一、计量单位也不统一，难以直接用于做运算，为方便数据处理，根据可接近性和可比性原则，需要对原始数据进行去量纲的标准化处理。考虑到07、08 和11 年三年收集到的数据各不相同，因此以年为单位进行标准化处理。


经标准化处理后，表征小麦茎秆外部形态特征所有指标的数据变为无量纲的置于[0,1]区间上的值，这样便可对各项指标随意进行比较、运算。
注：对数据缺失的小麦样本个体，本文在计算中直接进行剔除，而不作补充。
2.3 原始茎秆倒伏指数模型及对 07 年的数据分析
2.3.1 原始茎秆倒伏指数公式
文献[3]在对小麦倒伏做了大量研究的基础上提出用品种倒伏指数来衡量单株的抗倒伏性能，是一个动态的综合评价方法，受到了该领域专家的好评。鉴于本文已有数据的支撑和高可靠性，我们选取此方法。该方法涉及到茎秆抗折力、地上部鲜重及茎秆重心高度，茎秆倒伏指数的量化公式为：茎秆倒伏指数=茎秆鲜重×茎秆重心高度/茎秆机械强度，即


其中，G 为茎秆鲜重，指一个小麦单茎所有在地面上长出的部分（包括穗、
秆、叶和稍）未经烘干的质量， H 为茎秆重心高度， P 表示茎秆机械强度即抗折力。显然，对于单茎小麦I 的值越大越易倒伏，即其抗倒伏性能越差。
2.3.2 07 年各品种的倒伏指数的数值结果
观察 07、08 和11 年三年的数据，只有07 年的数据齐全，可直接计算茎秆倒伏指数值，根据公式（2）得到07 年矮抗58、新麦208 和周麦18 三个小麦品种的倒伏指数见excel 附件“result”工作表ti1。
结论：
1. 图2-1 给出了矮抗58、新麦208 和周麦18 三个小麦品种的倒伏指数曲线（横坐标并非指时间，而是对每类品种的倒伏指数都由小到大进行了排序）。矮抗58 的倒伏指数最小，抗倒伏能力最强。虽然周麦18 倒伏指数小的样本没有新麦208 多，但周麦18 的倒伏指数都集中在相对较小的区间内，而新麦208 的倒伏指数却参差不齐、两级分化严重。由于倒伏指数越大抗倒伏能力越差，所以判断周麦18 抗倒伏能力整体上稍优于新麦208。所以三类品种抗倒伏能力的排序为：矮抗58>周麦18>新麦208。
2. 表2-2 给出了在不同发育时期三个品种的倒伏指数均值，图2-2 给出了新麦18 倒伏指数随时间变化情况，可发现小麦在发育至成熟期间，抗倒伏能力逐渐下降，在腊熟期抗倒伏能力最差。
3. 同一品种、同一时期的个别样本倒伏指数与均值相去甚远（表2-2 中开花期就有这样一个样本），我们猜想这是由于样本在田间所受光照、水分有所差异造成的。


8 总结
论文主要对小麦发育后期茎秆的抗倒伏特性进行了研究，主要完成的工作
有：
1. 题目给的倒伏指数公式只考虑了小麦茎秆鲜重、茎秆重心高度和机械强度三项指标，本文通过回归模型求解得到机械强度表达式，对倒伏指数公式进行了细化，加入了更多茎秆形态特征使公式内容更加丰富，据此得到小麦抗倒伏能力：（1）2007 年，矮抗58>周麦18>新麦208；（2）2008 年，矮抗58>联丰85>周麦18>TM>智9998 早>国信；（3）2011 年，矮抗58、周麦18、周麦22、温麦6 号抗倒伏能力相对较好，豫麦18 居中，平安6 和郑麦9023 较差。在此过程中发现茎秆密度对茎秆抗倒伏能力有重要影响。茎秆密度基本上随时间呈递减趋势，开花期的均值最大，腊熟期的均值最小。
2. 逐步递进地采用相关系数、通径分析和灰色关联分析三种方法分析小麦倒伏指数与茎秆外部形态特征、外部形态特征内部之间的关系，发现株高，基部第二、三茎节（尤其是第二茎节）的节长、节长、粗、壁厚，穗重是影响小麦抗倒伏能力的主要因素；
株高、穗长、各节长之间的相关性较大，总重、各节壁厚、各节粗之间的相关性较大
  国信与智 9998 两个品种的小麦发生倒伏主要是株高太高、基部第二茎节壁厚太薄造成的。
3. 考虑到高产与抗倒伏的矛盾，以倒伏指数最小和体积最小（表征投入产出比）为目标函数建立多目标优化模型，通过对优化目标线性加权求解得到了单穗重分别是1.19g，2.06g，2.46g，2.56g，2.75g，2.92g 时的理想株型结构，包括各节长、重、粗、厚，穗长，株高，总重。
4. 根据物理力学原理，研究了小麦茎秆在麦穗自重和风载作用下应力的基本规律，对建立的力学模型进行了不同角度的简化，定义了抗倒伏余量、抗折断余量和倒伏角三个指标来描述风载能力和倒伏程度。并在简化模型的基础上，对07 年小麦进行了求解。
5. 对在模型建立中遇到的问题进行了总结；根据在数据分析和模型建立中遇到的问题，以数据完整性和可靠性为原则，为2012 年小麦抗倒伏试验提出了建议；根据模型求解结果，以高产和抗倒伏同步提高为原则，为小麦育种提出了建议。
倒伏是制约小麦高产和优质的主要因素之一，但要实现小麦由高产到超高产的跨跃，首先必须解决倒伏问题。高产与倒伏的矛盾是目前小麦高产及超高产育种中的突出问题。本文深入研究了不同小麦品种的抗倒性，重点从倒伏系数和物理力学两个方面进行了分析，对实现小麦高产、稳产、优质有一定的借鉴的意义。

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